Stiftung PHÄNOMENTA Lüdenscheid

Turm von Hanoi

Lfdn Nr 140Bringe den Turm auf einen anderen Stift! Bewege immer nur eine Scheibe und lege niemals eine größere auf eine kleinere! Mit wie vielen Zügen schaffst du es? Geht es mit noch weniger Zügen?

WORUM GEHT ES?
Einer hinduistischen Sage nach befindet sich im Tempel von Benares ein Spiel mit 64 goldenen Lochscheiben unterschiedlicher Größe. Neben diesen Scheiben gibt es drei Stifte, auf die die Platten geschoben werden können. Zu Beginn sind alle Scheiben der Größe nach auf einem Stift angeordnet – beginnend mit der größten. Weiter heißt es in der Sage, gelänge es diesen Turm unter Beachtung der gegebenen Regeln auf einen der anderen beiden Stifte umzuschichten, würde die Welt untergehen. Das allerdings würde ca. 600 Milliarden Jahre dauern, selbst wenn man jede Sekunde eine Scheibe bewegt. In der PHÄNOMENTA wird allerdings „nur“ mit fünf Scheiben gespielt, so dass man das Spiel in angemessener Zeit zu Ende bringen kann.

Die Türme von Hanoi sind ein mathematisches Knobel- und Geduldsspiel. Das Spiel besteht aus drei Stäben A, B und C, auf die mehrere gelochte Scheiben in verschiedenen Größen gelegt werden. Zu Beginn liegen alle Scheiben auf Stab A der Größe nach geordnet. Die größte Scheibe ist dabei ganz unten und die kleinste oben. Ziel des Spiels ist es, den kompletten Scheiben-Stapel von A nach C zu versetzen. Bei jedem Zug darf die oberste Scheibe eines beliebigen Stabes auf einen der beiden anderen Stäbe gelegt werden, vorausgesetzt, dort liegt nicht schon eine kleinere Scheibe. Folglich sind zu jedem Zeitpunkt des Spieles die Scheiben auf jedem Stab der Größe nach geordnet.

WESHALB IST DAS SO?
Die Lösungsstrategie lässt sich rekursiv entwickeln, das heißt, hat man den ersten Fall gelöst, können alle weiteren Fälle auf den ersten zurückgeführt werden. Fangen wir mit zwei Scheiben an. Um diese von einem Platz auf einen anderen zu transportieren, benötigt man drei Züge. Diese sehen wie folgt aus: Zuerst bewegt man die kleinere Scheibe auf einen der anderen Plätze. Dann wird die größere Scheibe auf den freien Platz gesetzt und zum Schluss die kleinere Scheibe wieder auf die größere. Hat man nun drei Scheiben, muss zunächst der Teilturm aus zwei Scheiben auf einen der freien Plätze verschoben werden. Dafür benötigt man drei Züge. Dann setzt man die größte Scheibe auf den letzten verbliebenen freien Platz. Schließlich muss man den Teilturm wieder auf die größte Scheibe bauen, wofür man weitere drei Züge benötigt. Es ergeben sich also insgesamt 3 + 3 + 1 = 2 × 3 + 1 = 7 Züge. Führt man alles mit vier Scheiben durch, kommt man auf 7 + 7 + 1 = 2 × 7 + 1 = 15 Schritte. Bei fünf Scheiben (wie hier in der PHÄNOMENTA) sind es dann 15 + 15 + 1 = 31 Schritte, die man mindestens braucht. Man gelangt schließlich zu der folgenden allgemeinen Formel αn (n als Index)=2hochn–1, mit der man die Anzahl der Schritte bestimmen kann. Dabei steht n für die Anzahl der benutzten Scheiben. Setzt man zum Beispiel für n zehn ein, ergibt sich: α10(10 als Index)= 2hoch10 – 1 =1023 für die Anzahl der Spielzüge, die bei optimaler Strategie nötig sind um alle Scheiben in richtiger Reihenfolge auf einen anderen Platz zu stapeln.

Alltagsbezug
Ein schönes Beispiel für große Zahlen sind die Adressen im Internet. Wir Menschen rechnen mit einem Zahlensystem, dass auf der 10 basiert: Wir haben 10 Finger. Wenn man alle durchgezählt hat, merkt man sich das, (man nennt das Zehner-Übergang) und dann fängt man wieder bei eins an. Wenn man das z.B. 4 mal gemacht hat, lautet die Zahl 40: Man hat 4 mal bis 10 gezählt. Ein Rechner arbeitet mit nur zwei Zahlen, nämlich 0 und 1, er verwendet das Dualsystem. Er hat zwar dann bei jeder zweiten Zahl einen „Zehnerübergang“, besser „Zweierübergang“, dafür sind die beiden Zahlen aber sehr leicht technisch darstellbar: AN und AUS.

Man kann die Stellen einer Zahl, 1000 hat z. B. drei Nullen, auch einfacher darstellen: 10³. Bei kleinen Zahlen scheint das komplizierter, wir kommen noch mit 1.000.000 zurecht, fangen aber schon an, die Nullen zu zählen: Deshalb schreibt man oft noch 1.000.000, aber auch 10 hoch 6. Im dualen Zahlensystem schreibt man entsprechend: 2²,2³ usw. Früher basierten die Rechner auf Zahlen, die 8 Stellen hatten: 8 Bit oder 2hoch8.

Um eine Internetadresse darzustellen, nahm man einfach 4 solcher 8Bit-Zahlen hintereinander: 2hoch8 mal 2hoch8 mal 2hoch8 mal 2hoch8 oder in der Zehner-Schreibweise: 255 mal 255 mal 255 mal 255. Dies ist die höchste darstellbare Internetadresse. Man kann das auch ganz einfach ausrechnen: Wenn man 2hoch8 mal 2hoch8 mal 2hoch8 mal 2hoch8 rechnen will, braucht man nur die Exponenten, also die 8er zu addieren und schon hat man 2hoch32. Im Zehnersystem lautet die Zahl: 4.294.967.296, also gut 4 Milliarden.

Das sind mittlerweile zu wenig. Also hat man einfach die Anzahl der Blöcke und die Anzahl der Stellen verdoppelt: Also 2hoch16 und das 8 mal. Dies ergibt nun 16 mal 8 = 128, also 2 hoch 128. Das Ergebnis ist eine 34 mit 37 weiteren Stellen. Diese Zahl ist in normaler Schreibweise nicht mehr vernünftig darstellbar.

Mit der Anzahl von Kombinationen verhält es sich ähnlich. Ein PKW mit 5 verschiedenen Motoren und 5 Farben kann in 5 mal 5, also 5² = 25 verschiedenen Modellen geliefert werden. Mit 5 verschiedenen Radios ist das schon 5³ (Motor,Farbe,Radio) also 125 verschiedene Modelle, jetzt kommen noch 2 Reifengrößen, je 5 verschiedene Felgen, Sitzbezüge usw. hinzu. Theoretisch kann man einen VW Golf so zusammenstellen, dass niemals einer dem anderen gleicht. Deshalb werden viele Ausstattungen zu Paketen zusammengefasst, um die potentielle Vielfalt wenigstens etwas zu verringern.

Termine

13. Mai 2017
Informationsnachmittag für Lehrer/innen und Erzieher/innen
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24. Juni 2017
Informationsnachmittag für Lehrer/innen und Erzieher/innen
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